rectas paralelas cortada por la secante

1.2 Rectas cortadas por una secante

Consideremos un sistema de dos rectas cortadas por una secante o transversal. En este caso tenemos, para cada intersección, un sistema de dos rectas que se cortan entre si, obteniendo de esta manera varios ángulos opuestos por el vértice y adyacentes, correspondientes a cada intersección. Pero también podemos clasificar los ángulos de acuerdo a la posición que ocupan con respecto a los sistemas adyacentes.

rectas pTeorema 1.2.1 (Teorema directo) En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que

1. Los ángulos correspondientes son iguales
2 .Los ángulos alternos son iguales
3. Los ángulos colaterales son suplementarios

Debemos sobreentender que al decir ángulos iguales nos referimos a que son iguales entre sí; y de manera análoga para los ángulos complementarios.

Teorema 1.2.2 (Teorema inverso) En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya

1. Un par de ángulos correspondientes iguales, o bien,
2. algún par de ángulos alternos iguales, o bien
3. algún par de ángulos colaterales suplementarios,
para que esas dos rectas sean paralelas.

Por lo tanto, cualquiera de las res alternativas mencionadas en el teorema 1.2.2 (Teorema inverso), implica los incisos 1,2 y 3 del teorema (1.2.1) (teorema directo).
Este par de teoremas aunque aparentemente inofensivo resultará muy importante pues se aplica en muchos resultados, como veremos a continuación.

Llamaremos triángulo al espacio limitado por tres rectas que se cortan.

Teorema 1.2.3 La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera. Tracemos una recta paralela al segmento BC que pase por A.

Sabemos que ÐD + ÐA + ÐE = 180°.Por lo tanto tenemos ÐD=Ð B por ser ángulos alternos internos, y por la misma razón ÐE= ÐC.
Sustituyendo los valores deÐ D y Ð E en la primera igualdad obtendremos el resultado.

Definición 1.2.1 Un ángulo exterior de un triángulo es el formado por el lado del triángulo y la prolongación de otro.

Corolario 1.2.4 En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores que no le son adyacentes, es decir que le son opuestos.

Demostración. Consideremos un triángulo cualquiera ABC.

Por el teorema (1.2.3) Ð A + ÐB + ÐC = 180°; y como ÐE + ÐB = 180°, entonces ÐE= AÐ+ ÐC.

Corolario 1.2.5 La suma de los tres ángulos exteriores (uno en cada vértice) de cualquier triángulo, es igual a 360°.

Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera.

Sean los ángulos exteriores ÐD, ÐE y ÐF. Así, por el corolario (1.2.4), tenemos las siguientes identidades:

ÐD = ÐB+ÐC,
ÐE = ÐA+ÐC,
ÐF = ÐA +ÐB,

de esta manera
ÐD + ÐE+ ÐF= 2(ÐA + ÐB+ ÐC)= 2(180°).
Por lo tanto
ÐD + ÐE+ ÐF= 360°